Egy lefelé csúcsos, ideális kúpos edényt félig töltesz magasság szerint. A benne lévő mennyiség a teljes térfogat nyolcada lesz. A magassági arány és a térfogati arány azért különbözik, mert a folyadékszinttel együtt a keresztmetszet is változik.
A hasonló kúpok aránya
Legyen a teljes magasság H, a felső sugár R. A h magasságig töltött kisebb kúp sugara a hasonlóság miatt r = R × h/H. A kúptérfogat V = πr²h/3. Behelyettesítve a töltési arány (h/H)³ lesz.
Példánkban H = 60 cm és R = 30 cm. A teljes térfogat 18 000π cm³, körülbelül 56,55 liter. Harminccentis töltésnél a magassági arány 0,5, a térfogati arány 0,125. A tartalom így körülbelül 7,07 liter.
Milyen magas a félig telt kúp?
Fél térfogathoz h/H = ∛0,5 ≈ 0,7937 szükséges. A példabeli edénynél ez 60 × 0,7937 ≈ 47,62 cm. Az ötvenszázalékos térfogatjelzés tehát jóval a félmagasság felett helyezkedik el.
Ez alapján saját skálát is készíthetsz egy elméleti rajzhoz: a kívánt térfogatarány köbgyökét szorozd meg a teljes magassággal. Negyed térfogathoz körülbelül 62,996% magasság tartozik. A százalékos jelzéseknél mindig tüntesd fel, hogy magasságra vagy térfogatra vonatkoznak.
A képlet alkalmazásának feltétele
A számítás teljes, egyenes körkúpra érvényes, amely csúcsával lefelé áll. Levágott csúcsú edénynél csonkakúppal kell dolgozni. Fordított állásnál a fenti köbös arány közvetlenül a felső, üres részre alkalmazható, majd azt kell levonni az egészből. Belső méreteket használj, és a tényleges edény alakját mérd fel. A kapcsolódó kalkulátorban a teljes és a kisebb kúp térfogatát külön is ellenőrizheted.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
Módszer: a cikkben megadott összefüggésekből levezetett, saját szemléltető számítás.
Saját, végigvezetett számítási példa; a képlet és a modell feltételei a szövegben szerepelnek.
Háromkérdéses tudáspróba
Minden kérdésnél egy választ jelölj meg. A kiértékelés a cikk megértését ellenőrzi.
1. Fél magasságnál mennyi a térfogatarány?
- A) 1/2
- B) 1/4
- C) 1/8
2. Fél térfogathoz körülbelül mekkora magasság kell?
- A) 50%
- B) 25%
- C) 79,37%
3. Csonkakúpra változtatás nélkül használható a h³ arány?
- A) Csak literben
- B) Igen
- C) Nem, a geometria módosul
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont. 3 pont: a három összefüggést helyesen alkalmaztad; 2 pont: nézd át a téves válaszhoz tartozó részt; 0–1 pont: számold végig újra a példát. A rövid próba kizárólag e cikk tanulságaira vonatkozik.
1. Fél magasságnál mennyi a térfogatarány?
C) 1/8 – A hasonló testek térfogataránya 0,5³ = 0,125.
2. Fél térfogathoz körülbelül mekkora magasság kell?
C) 79,37% – A fél köbgyöke körülbelül 0,7937.
3. Csonkakúpra változtatás nélkül használható a h³ arány?
C) Nem, a geometria módosul – A levágott csúcs miatt a magassági és sugárarány kapcsolatát újra kell felírni.