Egy húszdarabos készletből öt különböző elemet választasz ellenőrzésre. Ha a kiválasztott darabokat nem teszed vissza, a következő húzás összetétele az előzőktől függ. Ilyenkor az állandó valószínűségű, független próbák egyszerű modellje eltérő eredményt adhat.
Az alábbi saját példában a teljes készlet hibás darabszámát ismertnek feltételezzük. A feladat célja a mintába kerülő darabok eloszlásának kiszámítása. Valódi minőségellenőrzésnél a teljes hibás darabszám gyakran éppen ismeretlen; azt a példából nem lehet automatikusan megállapítani.
Határozd meg a készletet és a mintát
Legyen összesen 20 darab, közülük 3 hibás és 17 megfelelő. Véletlenszerűen kiválasztunk 5 különböző darabot, úgy, hogy minden ötdarabos csoport egyformán lehetséges legyen.
Az összes lehetséges minta száma „20 alatt az 5”, vagyis 15 504. A hibás darabot nem tartalmazó minták száma „17 alatt az 5”, azaz 6188. A nulla hibás darab valószínűsége ezért 6188/15 504 ≈ 39,91%.
Legalább egy hibás darab mintába kerülésének esélye ennek kiegészítője: 1 − 6188/15 504 ≈ 60,09%. Ez az adott, ismert összetételhez és véletlen mintaválasztáshoz tartozik.
A teljes eloszlás is ellenőrizhető
Pontosan egy hibás darabnál a három hibás közül egyet, a tizenhét megfelelő közül négyet választunk. Az esély körülbelül 46,05%. Pontosan két hibás esélye 13,16%, mindháromé pedig 0,88%.
A pontos, kerekítés előtti valószínűségek összege egy. A megjelenített százalékok kerekítése okozhat kis összegeltérést; az ellenőrzéshez a teljes pontosságú értékek kellenek.
Az R hivatalos hipergeometrikus dokumentációja megadja a visszatevés nélküli képletet és a lehetséges kimenetek határait. A fenti készlet és az összes kiszámolt esély saját számpélda.
Miért más az állandó hibaarányú közelítés?
A készlet kezdeti hibaaránya 3/20 = 15%. Ha öt egymástól független próbában mindvégig 15% hibavalószínűséget feltételeznénk, a legalább egy hiba esélye 1 − 0,85⁵ ≈ 55,63% lenne.
Ez körülbelül 4,46 százalékponttal kisebb a visszatevés nélküli 60,09%-nál. A binomiális számítás itt más modellt ír le. A különbség oka, hogy egy megfelelő darab kivétele után a megmaradt készletben nő a hibás darabok aránya.
A vizsgatétel-húzás kalkulátor ugyanehhez a visszatevés nélküli matematikai szerkezethez kapcsolódik. A hibás darabokat az egyik kijelölt csoportként lehet értelmezni; a feliratokat és a bemenetek jelentését tudatosan kell megfeleltetni.
A nulla talált hiba nem teljes minőségi bizonyíték
A példában három hibás darab biztosan van a készletben, mégis körülbelül 39,91% eséllyel egyik sem kerül az ötös mintába. Ez megmutatja, miért nem következik egy hiba nélküli mintából automatikusan a teljes készlet hibamentessége.
A várható hibás darabszám 5 × 3/20 = 0,75. Egyetlen mintában természetesen egész számú hibás darab lehet. A 0,75 ismételt, azonos módon végzett kísérletek elméleti átlagát jelenti; nem egy ténylegesen kiválasztott „háromnegyed darabot”.
A valós mintavételi döntéshez a véletlenszerű kiválasztás módját, a hiba felismerésének megbízhatóságát és az elfogadási szabályt is meg kell határozni. Ez a cikk nem minősítési vagy átvételi szabvány.
Gyakori kérdések
Visszatevéssel is ezt a képletet használjam?
Visszatevés és megfelelő függetlenség mellett más, állandó valószínűségű modell indokolt lehet. A mintaválasztás módját előbb tisztázni kell.
Mi történik, ha mind a húsz darabot ellenőrzöm?
A modellben mindhárom hibás darab a mintába kerül. A felismerés tényleges pontossága ettől külön kérdés.
Ismeretlen hibaszámnál is megkapom a 60,09%-ot?
Nem. Ez a három hibás darab feltételezésére adott eredmény. Ismeretlen készletösszetételnél becslési vagy döntési feladatot kell külön megfogalmazni.