Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege az átfogó négyzetével egyezik: a² + b² = c². Egy téglalap átlója ilyen háromszög átfogója, ezért a két oldalhossz ismeretében kiszámítható. A módszerhez a derékszög feltételét előzetesen ismerni vagy ellenőrizni kell.
A négyzetre emelés előtt minden hossz ugyanabban az egységben szerepeljen. Ha az egyik oldal méterben, a másik centiméterben érkezett, előbb válts. A gyökvonás után a hosszt az eredetileg választott egységben kapod meg.
Egy keret átlója lépésenként
Egy szemléltető téglalap mérete 0,90 × 1,20 m. Feltételezzük, hogy az oldalak pontosan derékszöget zárnak be. Az átló négyzete 0,90² + 1,20² = 0,81 + 1,44 = 2,25 m². A pozitív négyzetgyök 1,50 m.
Centiméterben ugyanígy számolva 90² + 120² = 8100 + 14 400 = 22 500 cm², amelynek gyöke 150 cm. A két számítás ugyanazt a hosszat adja. A négyzetes köztes egységből a gyökvonás állítja vissza a hosszegységet.
A fordított feladatban legyen az átló 1,50 m és az egyik oldal 0,90 m. A másik oldal négyzete 1,50² − 0,90² = 2,25 − 0,81 = 1,44 m², a másik oldal tehát 1,20 m. Átfogó keresésekor összeadsz, hiányzó befogónál a megfelelő négyzeteket kivonod.
A kapcsolat és az oldaljelölések az OpenStax Pitagorasz-tételt tárgyaló fejezetében ellenőrizhetők. A példák itt saját számítások.
Átlóból és képarányból két oldal
Egy másik elméleti téglalap szélességének és magasságának aránya 16:9, az átlója 139,7 cm. Írjuk a két oldalt 16k és 9k alakban. A Pitagorasz-tétel szerint (16k)² + (9k)² = 139,7², vagyis 337k² = 19 516,09.
Ebből k = 139,7 / √337. A szélesség 139,7 × 16 / √337 ≈ 121,76 cm, a magasság 139,7 × 9 / √337 ≈ 68,49 cm. A két értékből újra számolt átló a kerekítés előtti adatokkal pontosan 139,7 cm.
Képernyőnél ez a számítás a feltételezett téglalap alakú képterületre vonatkozna. A külső keret, állvány vagy szükséges szabad hely külön méret. Beférési döntésnél az egész tárgy tényleges méreteit kell összevetni a rendelkezésre álló hellyel.
Mit jelez egy eltérés?
Ha a 0,90 és 1,20 m-es oldalak mellett az átlót 1,48 m-nek méred, a három megadott érték nem teljesíti pontosan a derékszögű modellt. Ebből még nem állapítható meg egyetlen ok: lehet mérési eltérés, másik végpontról vett méret vagy tényleges szöghiba is. Ellenőrizd ugyanazokat a pontokat, az egységeket és a mérés bizonytalanságát.
Átfogónak a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt kell választani. Ha hiányzó befogó számításakor a gyök alatt negatív szám jelenik meg, pozitív valós oldalhosszt ezekből az adatokból nem kapsz. Egyenlő átfogó és megadott befogó esetén a hiányzó oldal nulla lenne, ami elfajult alakzat.
A Pitagorasz-kalkulátor külön módot ad az átfogó és a hiányzó befogó keresésére. A példát először 0,90 és 1,20, majd 1,50 és 0,90 megadásával ellenőrizheted. A számoló a feltételezett geometriából dolgozik, így a derékszög valós helyszíni ellenőrzését nem helyettesíti.
A végső hosszt a feladatnak megfelelő pontossággal kerekítsd. A köztes négyzeteket és gyököket érdemes teljes pontossággal megtartani, különösen akkor, ha az eredményt további terület- vagy térfogatszámításban használod.